Hier zeigen wir Ihnen Schritt für Schritt ein gelöstes Beispiel für integrale von exponentialfunktionen. Diese Lösung wurde automatisch von unserem intelligenten Taschenrechner generiert:
Wir können das Integral $\int\left(2x+7\right)e^{\left(x^2+7x\right)}dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $x^2+7x$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu
Differenzieren Sie beide Seiten der Gleichung $u=x^2+7x$
Finden Sie die Ableitung
Die Ableitung einer Summe von zwei oder mehr Funktionen ist die Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, wobei $n=7$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Um nun $dx$ in $du$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $u$ finden. Um $du$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Isolieren Sie $dx$ in der vorherigen Gleichung
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{a}$$=1$, wobei $a=2x+7$ und $a/a=\frac{\left(2x+7\right)e^u}{2x+7}$
Setzen Sie $u$ und $dx$ in das Integral ein und vereinfachen Sie
Wenden Sie die Formel an: $\int e^xdx$$=e^x+C$, wobei $x=u$
Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $x^2+7x$
Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $x^2+7x$
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
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