Ici, nous vous montrons un exemple résolu étape par étape de intégrales avec radicaux. Cette solution a été générée automatiquement par notre calculatrice intelligente :
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int \sqrt{4-x^2}dx$ en appliquant la méthode d'intégration de la substitution trigonométrique à l'aide de la substitution suivante
Différencier les deux côtés de l'équation $x=2\sin\left(\theta \right)$
Trouver la dérivée
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Appliquer l'identité trigonométrique : $\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$$=\cos\left(\theta \right)$, où $x=\theta $
Maintenant, pour réécrire $d\theta$ en termes de $dx$, nous devons trouver la dérivée de $x$. Nous devons calculer $dx$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.
Appliquer la formule : $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, où $a=2$, $b=\sin\left(\theta \right)$ et $n=2$
Appliquer la formule : $ab$$=ab$, où $ab=- 4\sin\left(\theta \right)^2$, $a=-1$ et $b=4$
En substituant l'intégrale d'origine, on obtient
Factoriser le polynôme $4-4\sin\left(\theta \right)^2$ par son plus grand facteur commun (GCF) : $4$
Appliquer la formule : $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, où $a=1-\sin\left(\theta \right)^2$, $b=4$ et $n=\frac{1}{2}$
Applying the trigonometric identity: $1-\sin\left(\theta \right)^2 = \cos\left(\theta \right)^2$
Appliquer la formule : $\int cxdx$$=c\int xdx$, où $c=2$ et $x=2\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)$
Simplify $\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}$ using the power of a power property: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. In the expression, $m$ equals $2$ and $n$ equals $\frac{1}{2}$
Appliquer la formule : $x\cdot x$$=x^2$, où $x=\cos\left(\theta \right)$
Appliquer la formule : $\int \cos\left(\theta \right)^2dx$$=\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)+C$, où $x=\theta $
Exprimer la variable $\theta$ en termes de la variable d'origine $x$
Appliquer l'identité trigonométrique : $\sin\left(2\theta \right)$$=2\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$, où $x=\theta $
Appliquer la formule : $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, où $a=1$, $b=4$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{4}$ et $ca/b=2\left(\frac{1}{4}\right)\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$
Appliquer la formule : $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, où $a=1$, $b=2$, $c=x$, $a/b=\frac{1}{2}$, $f=2$, $c/f=\frac{x}{2}$ et $a/bc/f=\frac{1}{2}\frac{x}{2}\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$
Appliquer la formule : $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, où $a=x$, $b=4$, $c=\sqrt{4-x^2}$, $a/b=\frac{x}{4}$, $f=2$, $c/f=\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$ et $a/bc/f=\frac{x}{4}\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$
Exprimer la variable $\theta$ en termes de la variable d'origine $x$
Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$
Appliquer la formule : $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, où $a=\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$, $b=\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}$, $x=2$ et $a+b=\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}$
Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=2$, $b=x\sqrt{4-x^2}$ et $c=8$
Appliquer la formule : $\frac{ab}{c}$$=\frac{a}{c}b$, où $ab=2x\sqrt{4-x^2}$, $a=2$, $b=x\sqrt{4-x^2}$, $c=8$ et $ab/c=\frac{2x\sqrt{4-x^2}}{8}$
Appliquer la formule : $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, où $a=1$, $b=2$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{2}$ et $ca/b=2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$
Appliquer la formule : $1x$$=x$, où $x=2$
Appliquer la formule : $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, où $a=2$, $b=2$ et $a/b=\frac{2}{2}$
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