Hier zeigen wir Ihnen Schritt für Schritt ein gelöstes Beispiel für grenzwerte von exponentialfunktionen. Diese Lösung wurde automatisch von unserem intelligenten Taschenrechner generiert:
Wenden Sie die Formel an: $\lim_{x\to c}\left(a^b\right)$$=\lim_{x\to c}\left(e^{b\ln\left(a\right)}\right)$, wobei $a=1+3\sin\left(x\right)$, $b=\frac{1}{x}$ und $c=0$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$, $b=1$ und $c=x$
Wenden Sie die Formel an: $1x$$=x$, wobei $x=\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$, $b=1$ und $c=x$
Wenden Sie die Formel an: $\lim_{x\to c}\left(a^b\right)$$={\left(\lim_{x\to c}\left(a\right)\right)}^{\lim_{x\to c}\left(b\right)}$, wobei $a=e$, $b=\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}$ und $c=0$
Wenden Sie die Formel an: $\lim_{x\to c}\left(a\right)$$=a$, wobei $a=e$ und $c=0$
Setzen Sie den Wert $0$ in den Grenzwert ein
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\sin\left(\theta \right)$$=\sin\left(\theta \right)$, wobei $x=0$
Wenden Sie die Formel an: $ab$$=ab$, wobei $ab=3\cdot 0$, $a=3$ und $b=0$
Wenden Sie die Formel an: $a+b$$=a+b$, wobei $a=1$, $b=0$ und $a+b=1+0$
Wenden Sie die Formel an: $\ln\left(x\right)$$=logf\left(x,e\right)$, wobei $x=1$
Wenn wir den Grenzwert $\lim_{x\to 0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right)$ direkt auswerten, wenn $x$ gegen $0$ tendiert, können wir sehen, dass er eine unbestimmte Form ergibt
Dieser Grenzwert lässt sich durch Anwendung der L'Hpitalschen Regel lösen, die darin besteht, die Ableitung des Zählers und des Nenners getrennt zu berechnen
Bestimmen Sie die Ableitung des Zählers
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$$=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Die Ableitung einer Summe von zwei oder mehr Funktionen ist die Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$$=\cos\left(\theta \right)$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=3\cos\left(x\right)$, $b=1$ und $c=1+3\sin\left(x\right)$
Bestimmen Sie die Ableitung des Nenners
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{x}{1}$$=x$, wobei $x=\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}$
Nach Ableitung von Zähler und Nenner und Vereinfachung ergibt sich der Grenzwert zu
Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{x\to 0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)$, indem Sie alle Vorkommen von $x$ durch $0$
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\sin\left(\theta \right)$$=\sin\left(\theta \right)$, wobei $x=0$
Wenden Sie die Formel an: $ab$$=ab$, wobei $ab=3\cdot 0$, $a=3$ und $b=0$
Wenden Sie die Formel an: $a+b$$=a+b$, wobei $a=1$, $b=0$ und $a+b=1+0$
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\cos\left(\theta \right)$$=\cos\left(\theta \right)$, wobei $x=0$
Wenden Sie die Formel an: $ab$$=ab$, wobei $ab=3\cdot 1$, $a=3$ und $b=1$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, wobei $a=3$, $b=1$ und $a/b=\frac{3}{1}$
Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{x\to 0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)$, indem Sie alle Vorkommen von $x$ durch $0$
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