Qui vi mostriamo un esempio di soluzione passo-passo di equazione differenziale lineare. Questa soluzione è stata generata automaticamente dalla nostra calcolatrice intelligente:
Possiamo identificare che l'equazione differenziale ha la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, quindi possiamo classificarla come un'equazione differenziale lineare del primo ordine, dove $P(x)=2$ e $Q(x)=x$. Per risolvere l'equazione differenziale, il primo passo è quello di trovare il fattore integrante $\mu(x)$
Calcolare l'integrale
Applicare la formula: $\int cdx$$=cvar+C$, dove $c=2$
Per trovare $\mu(x)$, dobbiamo prima calcolare $\int P(x)dx$
Quindi il fattore di integrazione $\mu(x)$ è
Ora, moltiplicare tutti i termini dell'equazione differenziale per il fattore di integrazione $\mu(x)$ e verificare se è possibile semplificare
Possiamo riconoscere che il lato sinistro dell'equazione differenziale consiste nella derivata del prodotto di $\mu(x)\cdot y(x)$
Integrate entrambi i lati dell'equazione differenziale rispetto a $dx$
Semplificare il lato sinistro dell'equazione differenziale
Possiamo risolvere l'integrale $\int xe^{2x}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per parti per calcolare l'integrale del prodotto di due funzioni, utilizzando la seguente formula
Innanzitutto, individuare o scegliere $u$ e calcolarne la derivata, $du$
Ora, identificare $dv$ e calcolare $v$
Risolvere l'integrale per trovare $v$
Possiamo risolvere l'integrale $\int e^{2x}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $2x$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta
Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Isolare $dx$ nell'equazione precedente
Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando
Applicare la formula: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, dove $c=2$ e $x=e^u$
Applicare la formula: $\int e^xdx$$=e^x+C$, dove $x=u$
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $2x$
Ora sostituite i valori di $u$, $du$ e $v$ nell'ultima formula
Possiamo risolvere l'integrale $\int e^{2x}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $2x$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta
Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Isolare $dx$ nell'equazione precedente
Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando
Applicare la formula: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, dove $c=2$ e $x=e^u$
Applicare la formula: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, dove $a=-1$, $b=2$, $c=1$, $a/b=-\frac{1}{2}$, $f=2$, $c/f=\frac{1}{2}$ e $a/bc/f=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int e^udu$
Applicare la formula: $\int e^xdx$$=e^x+C$, dove $x=u$
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $2x$
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
Risolvere l'integrale $\int xe^{2x}dx$ e sostituire il risultato con l'equazione differenziale
Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=e^{2x}x$, $b=1$ e $c=2$
Applicare la formula: $1x$$=x$, dove $x=e^{2x}x$
Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=e^{2x}$, $b=-1$ e $c=4$
Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=e^{2x}x$, $b=1$ e $c=2$
Applicare la formula: $1x$$=x$, dove $x=e^{2x}x$
Applicare la formula: $a^nx=b$$\to x=a^{-n}b$, dove $a^n=e^{2x}$, $a=e$, $b=\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0$, $x=y$, $a^nx=b=e^{2x}y=\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0$, $a^nx=e^{2x}y$ e $n=2x$
Trovare la soluzione esplicita dell'equazione differenziale. Dobbiamo isolare la variabile $y$
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