Ici, nous vous montrons un exemple résolu étape par étape de équation différentielle linéaire. Cette solution a été générée automatiquement par notre calculatrice intelligente :
Nous pouvons identifier que l'équation différentielle a la forme : $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$ Nous pouvons donc la classer comme une équation différentielle linéaire du premier ordre, où $P(x)=2$ et $Q(x)=x$. Pour résoudre l'équation différentielle, la première étape consiste à trouver le facteur d'intégration. $\mu(x)$
Calculer l'intégrale
Appliquer la formule : $\int cdx$$=cvar+C$, où $c=2$
Pour trouver $\mu(x)$, nous devons d'abord calculer $\int P(x)dx$
Le facteur d'intégration $\mu(x)$ est donc
Maintenant, multipliez tous les termes de l'équation différentielle par le facteur d'intégration $\mu(x)$ et vérifiez si nous pouvons simplifier
Nous pouvons constater que le côté gauche de l'équation différentielle consiste en la dérivée du produit de $\mu(x)\cdot y(x)$
Intégrer les deux côtés de l'équation différentielle par rapport à $dx$
Simplifier le côté gauche de l'équation différentielle
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int xe^{2x}dx$ en appliquant la méthode d'intégration par parties pour calculer l'intégrale du produit de deux fonctions, à l'aide de la formule suivante
Tout d'abord, identifiez ou choisissez $u$ et calculez sa dérivée, $du$
Identifiez maintenant $dv$ et calculez $v$
Résoudre l'intégrale pour trouver $v$
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int e^{2x}dx$ en appliquant la méthode d'intégration par substitution (également appelée substitution en U). Tout d'abord, nous devons identifier une section de l'intégrale avec une nouvelle variable (appelons-la $u$), qui, une fois substituée, rend l'intégrale plus facile. Nous voyons que $2x$ est un bon candidat pour la substitution. Définissons une variable $u$ et assignons-la à la partie choisie
Maintenant, pour réécrire $dx$ en termes de $du$, nous devons trouver la dérivée de $u$. Nous devons calculer $du$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.
Isoler $dx$ dans l'équation précédente
En substituant $u$ et $dx$ dans l'intégrale et en simplifiant
Appliquer la formule : $\int \frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, où $c=2$ et $x=e^u$
Appliquer la formule : $\int e^xdx$$=e^x+C$, où $x=u$
Remplacez $u$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $2x$
Remplacez maintenant les valeurs de $u$, $du$ et $v$ dans la dernière formule
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int e^{2x}dx$ en appliquant la méthode d'intégration par substitution (également appelée substitution en U). Tout d'abord, nous devons identifier une section de l'intégrale avec une nouvelle variable (appelons-la $u$), qui, une fois substituée, rend l'intégrale plus facile. Nous voyons que $2x$ est un bon candidat pour la substitution. Définissons une variable $u$ et assignons-la à la partie choisie
Maintenant, pour réécrire $dx$ en termes de $du$, nous devons trouver la dérivée de $u$. Nous devons calculer $du$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.
Isoler $dx$ dans l'équation précédente
En substituant $u$ et $dx$ dans l'intégrale et en simplifiant
Appliquer la formule : $\int \frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, où $c=2$ et $x=e^u$
Appliquer la formule : $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, où $a=-1$, $b=2$, $c=1$, $a/b=-\frac{1}{2}$, $f=2$, $c/f=\frac{1}{2}$ et $a/bc/f=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int e^udu$
Appliquer la formule : $\int e^xdx$$=e^x+C$, où $x=u$
Remplacez $u$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $2x$
Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$
Résoudre l'intégrale $\int xe^{2x}dx$ et remplacer le résultat par l'équation différentielle
Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=e^{2x}x$, $b=1$ et $c=2$
Appliquer la formule : $1x$$=x$, où $x=e^{2x}x$
Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=e^{2x}$, $b=-1$ et $c=4$
Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=e^{2x}x$, $b=1$ et $c=2$
Appliquer la formule : $1x$$=x$, où $x=e^{2x}x$
Appliquer la formule : $a^nx=b$$\to x=a^{-n}b$, où $a^n=e^{2x}$, $a=e$, $b=\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0$, $x=y$, $a^nx=b=e^{2x}y=\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0$, $a^nx=e^{2x}y$ et $n=2x$
Trouvez la solution explicite de l'équation différentielle. Nous devons isoler la variable $y$
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