Ici, nous vous montrons un exemple résolu étape par étape de equation différentielle exacte. Cette solution a été générée automatiquement par notre calculatrice intelligente :
L'équation différentielle $5x^4dx+20y^{19}dy=0$ est exacte, puisqu'elle s'écrit sous la forme standard $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, où $M(x,y)$ et $N(x,y)$ sont les dérivées partielles d'une fonction à deux variables $f(x,y)$ et satisfont au test d'exactitude : $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En d'autres termes, leurs dérivées partielles secondes sont égales. La solution générale de l'équation différentielle est de la forme suivante $f(x,y)=C$
Trouvez la dérivée de $M(x,y)$ par rapport à $y$
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, où $c=5x^4$
Trouvez la dérivée de $N(x,y)$ par rapport à $x$
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, où $c=20y^{19}$
En utilisant le test d'exactitude, nous vérifions que l'équation différentielle est exacte
Appliquer la formule : $\int cxdx$$=c\int xdx$, où $c=5$ et $x=x^4$
Appliquer la formule : $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, où $n=4$
Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=5$, $b=x^{5}$ et $c=5$
Puisque $y$ est traité comme une constante, nous ajoutons une fonction de $y$ comme constante d'intégration
Intégrer $M(x,y)$ par rapport à $x$ pour obtenir
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, où $c=x^{5}$
La dérivée de $g(y)$ est $g'(y)$
Prenez maintenant la dérivée partielle de $x^{5}$ par rapport à $y$ pour obtenir
Simplifier et isoler $g'(y)$
Appliquer la formule : $x+0$$=x$, où $x=g$
Appliquer la formule : $a=b$$\to b=a$, où $a=20y^{19}$ et $b=g$
Fixer $20y^{19}$ et $0+g'(y)$ égaux l'un à l'autre et isoler $g'(y)$
Intégrer les deux côtés par rapport à $y$
Appliquer la formule : $\int cxdx$$=c\int xdx$, où $c=20$ et $x=y^{19}$
Appliquer la formule : $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, où $x=y$ et $n=19$
Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=20$, $b=y^{20}$ et $c=20$
Trouver $g(y)$ en intégrant les deux côtés
Nous avons trouvé notre $f(x,y)$ et il est égal à
La solution de l'équation différentielle est alors la suivante
Regrouper les termes de l'équation
Appliquer la formule : $x^a=b$$\to \left(x^a\right)^{\frac{1}{a}}=\pm b^{\frac{1}{a}}$, où $a=20$, $b=C_0-x^{5}$ et $x=y$
Appliquer la formule : $\left(x^a\right)^b$$=x$, où $a=20$, $b=1$, $x^a^b=\sqrt[20]{y^{20}}$, $x=y$ et $x^a=y^{20}$
Appliquer la formule : $a=\pm b$$\to a=b,\:a=-b$, où $a=y$ et $b=\sqrt[20]{C_0-x^{5}}$
En combinant toutes les solutions, les solutions $2$ de l'équation sont
Trouvez la solution explicite de l'équation différentielle. Nous devons isoler la variable $y$
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