Qui vi mostriamo un esempio di soluzione passo-passo di equazioni differenziali. Questa soluzione è stata generata automaticamente dalla nostra calcolatrice intelligente:
Raggruppare i termini dell'equazione differenziale. Spostate i termini della variabile $y$ sul lato sinistro e i termini della variabile $x$ sul lato destro dell'uguaglianza.
Applicare la formula: $dy=a\cdot dx$$\to \int 1dy=\int adx$, dove $a=\sin\left(5x\right)$
Applicare la formula: $\int cdx$$=cvar+C$, dove $c=1$
Risolvere l'integrale $\int 1dy$ e sostituire il risultato con l'equazione differenziale
Possiamo risolvere l'integrale $\int \sin\left(5x\right)dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $5x$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta
Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Isolare $dx$ nell'equazione precedente
Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando
Applicare la formula: $\int \frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, dove $c=5$ e $x=\sin\left(u\right)$
Applicare la formula: $\int \sin\left(\theta \right)dx$$=-\cos\left(\theta \right)+C$, dove $x=u$
Applicare la formula: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, dove $a=1$, $b=5$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{5}$ e $ca/b=-\left(\frac{1}{5}\right)\cos\left(u\right)$
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $5x$
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
Risolvere l'integrale $\int \sin\left(5x\right)dx$ e sostituire il risultato con l'equazione differenziale
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