Find the derivative of 1/2(x(4-1x^2)^0.5+4arcsin(x/2))

\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\cdot \left(x\sqrt{4-x^2}+4arcsin\left(\frac{x}{2}\right)\right)\right)

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0
x
y
(◻)
◻/◻
2

e
π
ln
log
lim
d/dx
d/dx
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Answer

$\frac{1}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}-\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}x^2+\sqrt{4-x^2}\right)$

Step by step solution

Problem

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\cdot \left(x\sqrt{4-x^2}+4arcsin\left(\frac{x}{2}\right)\right)\right)$
1

La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función

$\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\left(4arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+x\sqrt{4-x^2}\right)$
2

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado

$\frac{1}{2}\left(\frac{d}{dx}\left(4arcsin\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\sqrt{4-x^2}\right)\right)$
3

La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función

$\frac{1}{2}\left(4\frac{d}{dx}\left(arcsin\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\sqrt{4-x^2}\right)\right)$
4

Aplicando la derivada del producto de dos funciones: $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$, donde $f=x$ y $g=\sqrt{4-x^2}$

$\frac{1}{2}\left(4\frac{d}{dx}\left(arcsin\left(\frac{x}{2}\right)\right)+x\frac{d}{dx}\left(\sqrt{4-x^2}\right)+\sqrt{4-x^2}\cdot\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)$
5

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{1}{2}\left(4\frac{d}{dx}\left(arcsin\left(\frac{x}{2}\right)\right)+x\frac{d}{dx}\left(\sqrt{4-x^2}\right)+1\sqrt{4-x^2}\right)$
6

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{1}{2}\left(4\frac{d}{dx}\left(arcsin\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}x\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{d}{dx}\left(4-x^2\right)+1\sqrt{4-x^2}\right)$
7

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado

$\frac{1}{2}\left(4\frac{d}{dx}\left(arcsin\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}x\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(4\right)\right)+1\sqrt{4-x^2}\right)$
8

Si $f(x)$ es una función constante (aquella función que no contiene la variable de derivación), entonces $f'(x)=0$

$\frac{1}{2}\left(4\frac{d}{dx}\left(arcsin\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}x\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)+0\right)+1\sqrt{4-x^2}\right)$
9

La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función

$\frac{1}{2}\left(4\frac{d}{dx}\left(arcsin\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}x\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}\left(0-\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\right)+1\sqrt{4-x^2}\right)$
10

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{1}{2}\left(4\frac{d}{dx}\left(arcsin\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}x\left(0-1\cdot 2x\right)\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}+1\sqrt{4-x^2}\right)$
11

Aplicando la derivada del seno inverso

$\frac{1}{2}\left(4\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}\right)\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}x\left(0-1\cdot 2x\right)\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}+1\sqrt{4-x^2}\right)$
12

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, dividido por el denominador al cuadrado. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones y $h(x)$ es la función definida por ${\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$, donde ${g(x) \neq 0}$, entonces ${\displaystyle h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x)^2}}$

$\frac{1}{2}\left(4\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}\right)\left(\frac{2\frac{d}{dx}\left(x\right)-x\frac{d}{dx}\left(2\right)}{4}\right)+\frac{1}{2}x\left(0-1\cdot 2x\right)\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}+1\sqrt{4-x^2}\right)$
13

Si $f(x)$ es una función constante (aquella función que no contiene la variable de derivación), entonces $f'(x)=0$

$\frac{1}{2}\left(4\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}\right)\left(\frac{0\left(-1\right)x+2\frac{d}{dx}\left(x\right)}{4}\right)+\frac{1}{2}x\left(0-1\cdot 2x\right)\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}+1\sqrt{4-x^2}\right)$
14

Cualquier expresión multiplicada por $0$ da $0$

$\frac{1}{2}\left(4\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}\right)\left(\frac{0+2\frac{d}{dx}\left(x\right)}{4}\right)+\frac{1}{2}x\left(0-1\cdot 2x\right)\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}+1\sqrt{4-x^2}\right)$
15

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{1}{2}\left(4\cdot \left(\frac{0+2\cdot 1}{4}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}\right)+\frac{1}{2}x\left(0-1\cdot 2x\right)\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}+1\sqrt{4-x^2}\right)$
16

Multiplicar $2$ por $-1$

$\frac{1}{2}\left(4\cdot \left(\frac{0+2}{4}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}\right)+\frac{1}{2}x\left(0-2x\right)\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}+1\sqrt{4-x^2}\right)$
17

Sumar los valores $2$ y $0$

$\frac{1}{2}\left(4\cdot \left(\frac{2}{4}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}\right)+\frac{1}{2}x\left(0-2x\right)\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}+1\sqrt{4-x^2}\right)$
18

Dividir $2$ entre $4$

$\frac{1}{2}\left(4\cdot \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}\right)+\frac{1}{2}x\left(0-2x\right)\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}+1\sqrt{4-x^2}\right)$
19

Multiplicar $\frac{1}{2}$ por $4$

$\frac{1}{2}\left(2\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}+\frac{1}{2}x\left(0-2x\right)\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}+1\sqrt{4-x^2}\right)$
20

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión

$\frac{1}{2}\left(2\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}+\frac{1}{2}\left(-2\right)x\cdot x\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}+1\sqrt{4-x^2}\right)$
21

Multiplicar $-2$ por $\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}\left(2\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}-x\cdot x\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}+1\sqrt{4-x^2}\right)$
22

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{1}{2}\left(2\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}-x\cdot x\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}+\sqrt{4-x^2}\right)$
23

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes

$\frac{1}{2}\left(2\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}-\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}x^2+\sqrt{4-x^2}\right)$
24

Aplicamos la regla: $a\frac{1}{x}$$=\frac{a}{x}$, donde $a=2$ y $x=\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}$

$\frac{1}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}-\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}x^2+\sqrt{4-x^2}\right)$

Answer

$\frac{1}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}-\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}x^2+\sqrt{4-x^2}\right)$

Problem Analysis

Main topic:

Integral calculus

Time to solve it:

0.44 seconds

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